Linear transforms and translation

线性变换Linear Transforms

缩放Scale $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

UniformScale

非均匀缩放 Scale (Non-Uniform) $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{s}_1& 0\\ 0& s_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

NonUniformScale

反射Reflection $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Reflection

错切Shear $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

ShearMatrix

Shear

旋转Rotate

${\mathbf{R}}_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)$

Rotation

**平移Translation

平移

平移不是一个线性变换，它是一个仿射变换，因为线性变换其中的一个特性就是变换前后坐标系的原点保持不变，显然平移不满足这个特性；或者还可以说我们无法用一个矩阵去描述这个变换，不像之前的旋转缩放等变换我们都可以用一个矩阵就可以描述。再从另外一个角度来描述就是我们”无法通过只使用乘法来描述这个变换”

我们假设一个场景，在一维情景下，我们有一个数轴，还有三个点在 $a=1,b=2,c=3$ 处，我们想要将这三个点往右移动一个单位,也就是 $a^{\prime }=a+1;b^{\prime }=b+1,c^{\prime }=c+1$ 这是对这三个点都使用”+1”这个一个同样的操作我们做到了，那么我们可不可以使用乘法呢？我们观察到，$a^{\prime }=2,a=1$，要想使用乘法就需要乘以$2$，因为之间相差$2$倍，也就是$a^{\prime }=2a$,但是对于另外两个点，$2b$和$2c$则不是我们想要的结果，问题我们是否可以找到一个像”+1”这么一个统一又优美的操作，使乘法也可以作用于变换呢？答案是，我们暂时找不到

所以，Translation我们需要使用这种方式来表示 $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$ 可这样表示后面会多出 $\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$ 使得偏偏平移变换与其它的变换不同，那有没有其它的方法呢？答案是: homogenous_coordinates 齐次坐标

变换复合

complex_transformation变换复合，很容易就理解

$$\mathbf{T}\mathbf{R}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos 45^{\circ }& -\sin 45^{\circ }& 0\\ \sin 45^{\circ }& \cos 45^{\circ }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Here¹

3维下 $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ z+t_z\\ 1\end{array}\right)$

Footnotes

1. For math render, we use \mathbf{T}\_{x} instead of \mathbf{T}_{x} , But some doesn’t support. ↩