Homogenous coordinates

齐次坐标

以二维为例，在平移变换中我们新增一个坐标分量叫$w$，让其先等于$1$

则平移的矩阵可以表示为 $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ 1\end{array}\right)$ 再来看一下用齐次坐标是否可以表示之前的那些变换,均匀缩放 $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}s& 0& 0\\ 0& s& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$ 以及旋转 ${\mathbf{R}}_{\theta }=\left(\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ 都是可以的