Dot product

点乘我们通常用于衡量两个向量的方向差，或者衡量”做功”的大小，通常我们将它们单位化，然后再计算，这样取值范围就在$-1$到$1$之间，例如两个向量共向，那么值为$1$，反向则为$-1$，垂直为$0$

代数定义

两个向量$\vec{a}=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$和$\vec{b}=[b_1,b_2,\cdots ,b_n]$的点积定义为

$\begin{array}{r}\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\end{array}$

其中$n$是维度，在2维情况下就是$a_1{b}_1+a_2{b}_2$,例如

$\left(\begin{array}{cc}{5}_{(a_1)}& 6_{(b_1)}\\ 9_{(a_2)}& 4_{(b_2)}\end{array}\right)$

就是$5\times 6+9\times 4$ （这里需要注意与行列式的计算是不一样的，行列式是$5\times 4-6\times 9$）这里点乘的计算和我们在转置那里讲到的投影是一回事

几何定义 在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

其中$\theta$为两向量之间的夹角

推导

两个定义之间是等价的并可以互相推出 根据cosine_law余弦定理则我们有

$||a-b|{|}^2=||a|{|}^2+||b|{|}^2-2||a||||b||cos\alpha$

展开得

$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n(a_i-b_i{)}^2=\sum _n^{i=1}{a}_i^2+\sum _{n=1}^n{b}_i^2-2||a||||b||cos\alpha \end{array}$

Here¹

在二维情况下展开有

$\begin{array}{r}(a_1^2+b_1^2-2a_1{b}_1)+(a_2^2+b_2^2-2a_2{b}_2)=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-2||a||||b||cos\alpha \end{array}$

消去所有的$a_1^2,b_1^2$整理后有

$-2a_1{b}_1+(-2a_2{b}_2)=-2||a||||b||cos\alpha$

两边再同除以$-2$有

$a_1{b}_1+(a_2{b}_2)=||a||||b||cos\alpha =\vec{a}\cdot \vec{b}$

同样可以推广到$n$维 □

点乘在投影上的应用

计算出向量$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影值,则有$||{\vec{b}}_{\perp }||=||\vec{b}||cos\theta$

Footnotes

1. when display $$xxx$$ not rendered. cause of have things like \sum^{n}_{i=1}, must replace with \sum^{n}\_{i=1} 2. Or use _ first then use ^ second. e.g. \sum_{i=1}^{n} ↩