Transpose

转置

假设我们有一个矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 9& 4\end{array}\right)$ 它表示了从$2$维到$2$维空间的变换，对应任意的$m\cdot n$矩阵，都表示一个从 n 维空间到 m 维空间的变换，例如我们有一个$1\cdot 2$矩阵$\left(\begin{array}{cc}1& -2\end{array}\right)$，它表示了一个从2维空间到1维空间的变换，如图中我们可以看到$(1,-2)$变换到了$-1$

可以想象成一部机器，喂入两个数，得到一个数，具体的操作过程与投影projection有关,就像一个小人在数轴上，先移动了$1$步，然后又移动了$-2$步，那么最终看来，这个小人只移动了$-1$步,即后退了一步

而转置呢，操作上来说就是行变为列，列变成行，转了一下，例如 $\left(\begin{array}{cc}1& -2\end{array}\right)$ 转过来就是 $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ (即我们应当结合维度变换的角度去理解转置)

将这些操作转换成代数上就是 $\left(\begin{array}{cc}1& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+(-2\cdot 1)=-1$ 我们使用$\cdot$这个小点来表示这种”走了1步，又走了-2步”这种计算，而这种计算呢，又恰巧就是我们待会要讲到的点乘dot_product

• 补充：关于更加详细的坐标变换， 线性代数的本质 【搬运】【线性代数】线性代数的本质_哔哩哔哩_bilibili