Cross product

叉乘只在三维中有定义，两个向量的叉乘可以产生一个与这两个向量都垂直的新向量。例如计算一个物体表面的法向量

叉乘定义

$a \times b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin (θ) n$

其中 $θ$ 表示 $a$ 向量和 $b$ 向量之间的夹角，而 $n$ 则是一个与 $a$ 、 $b$ 所构成的平面垂直的单位向量，方向由右手定则决定 (https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF)

模长计算

$∥ a \times b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin (θ)$

模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积

叉乘计算

Part1 叉乘计算规则：如果两个向量一样，叉乘结果为 $0$ 通过引入单位向量，向量就可以转化成代数形式，例如

$a = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k, b = b_{1} i + b_{2} j + b_{3} k$

$i ， j ， k$ 是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。这三个向量就是

$i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)$

Part2

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$

分别为两三维向量，叉乘为

$a \times b = < a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} >$

也可以写成伪行列式的形式equation_and_determinant

$a \times b = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3} = i (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + j (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + k (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

$a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$

Part3 先以二维为例，假设有一个向量 $a = (a_{1}, a_{2})$ 然后我们引入反对称矩阵

$H = (01 - 1 0)$

然后计算

$aH a^{T}$

得结果为

$(a_{1} a_{2}) (01 - 1 0) (a_{1} a_{2}) = (a_{1} a_{2}) (- a_{2} a_{1}) = (a_{1} (- a_{2}) + a_{2} a_{1}) = 0$

由叉乘的规则我们有

$a \times a = [a]_{\times} * a = 0$

其中 $[a]_{\times}$ 表示某个叉乘矩阵，然后作用到了 $a$ 得结果为 $0$ ,通过对比，我们可以发现， $aH$ 就是向量a的叉乘矩阵，当 $a$ 为列向量时， $a^{T} H$ 为a向量的叉乘矩阵，如果向量 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 为三维向量，那么H为

$H = H_{1} H_{2} H_{3} H_{1} = 000001 0 - 1 0 H_{2} = 00 - 1 000100 H_{3} = 010 - 1 00 000$

最后将变换合并起来就是

$H = 01 - 1 - 1 01 1 - 1 0$

则最终有

$aH = 0 a_{3} - a_{2} - a_{3} 0 a_{1} a_{2} - a_{1} 0$

$a \times b = A * b = 0 a_{3} - a_{2} - a_{3} 0 a_{1} a_{2} - a_{1} 0 b_{1} b_{2} b_{3}$

Part4 根据内积和外积的定义 dot_product

$(a \times b) \cdot a =< a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} > \cdot a = a_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + a_{2} (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + a_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

$= a_{1} a_{2} b_{3} - a_{1} a_{3} b_{2} + a_{2} a_{3} b_{1} - a_{2} a_{1} b_{3} + a_{3} a_{1} b_{2} - a_{3} a_{2} b_{1} = 0$

假设有两个不共线的向量，分别为 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}), (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ,我们设我们要找的垂直于这两个向量的向量为 $(x, y, z)$ ，那么我们则有如下方程

$(a_{1} b_{1} a_{2} b_{2} a_{3} b_{3}) x y z = (00) = 0$

$\Rightarrow (a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z = 0 b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z = 0$

There is a footnote here ¹

(这里可以看做向量 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 和 $(b_{1}, b_{2}, b_{3})$ 分别与要求向量 $(x, y, z)$ 的点乘，如果垂直点乘结果为 $0$ ) 令式子中的 $z = 1$ ,则我们有

$(a_{1} x + a_{2} y = - a_{3} (1) b_{1} x + b_{2} y = - b_{3} (2)$

因为我们的方程组的秩小于未知数的个数，这里不妨设 $z = 1$ 然后再求解) 然后解二元一次方程，另 $(1) \times \frac{b _{1}}{a _{1}} - (2)$ 得

$y = \frac{a _{1} b _{3} - a _{3} b _{1}}{a _{2} b _{1} - a _{1} b _{2}}$

与

$x = \frac{a _{3} b _{2} - a _{2} b _{3}}{a _{2} b _{1} - a _{1} b _{2}}$

因此所求向量为

$(\frac{a _{3} b _{2} - a _{2} b _{3}}{a _{2} b _{1} - a _{1} b _{2}}, \frac{a _{1} b _{3} - a _{3} b _{1}}{a _{2} b _{1} - a _{1} b _{2}}, 1)$

改变一下形式我们有

$(a_{3} b_{2} - a_{2} b_{3}, a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}, a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2})$

这个形式与之前的形式相差了一个 $-$ 号，还有另外一种解法使用 $(2) \times \frac{a _{1}}{b _{1}} - (1)$ 所得的结果的形式与之前的形式相同

补充(https://github.com/Krasjet/quaternion/blob/master/quaternion.pdf)

叉乘的定义在历史顺序上来说是从Graßmann积中导出

For math render, use \begin{cases} instead of \left { that doesn’t supported. Or use \left ( with end of \right. ↩

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