Viewport transformation

Screen Space

从NDC（三维）到我们的屏幕空间（二维），也就是真正要显示在屏幕上；首先NDC空间范围是 $- 1$ 到 $1$ ，而屏幕空间表示像素范围对应的是 $(0, 0)$ 到 $(w, h)$ 例如我们屏幕分辨率为 $520 \times 520$ 那么就是 $(520, 520)$ ，也就是说我们需要从NDC的 $(- 1, - 1)$ 到 $(1, 1)$ 映射到屏幕的 $(0, 0)$ 到 $(520, 520)$ ;假设有一点顶点为 $(- 0.5, - 0.5, - 0.5, 1)$ ，是左下角的一个顶点（也就是正交变换里我们计算并验证中的那个小盒子上的一个边界点）经过一个正交变换后是 $(- 1, 1, - 0.992, 1)$ ，假设有一屏幕长为 $520$ ，宽为 $520$ 顶点 $(- 0.5, - 0.5)$ 也就是NDC中的 $(- 1, - 1)$ 会变换到屏幕空间中的 $(0, 0)$ ,同理如果是顶点 $(0.5, 0.5)$ ，NDC中的 $(1, 1)$ 会变成屏幕空间中的 $(520, 520)$ ,我们假设另外一个顶点 $(0.25, 0.25)$ ,对应NDC中的 $(0.5, 0.5)$ 会变成屏幕空间中的 $(390, 390)$

Figure 1

根据这些我们可以得到我们的视口变换矩阵

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} \frac{w}{2} & 0 & 0 & \frac{w}{2} \\ 0 & \frac{h}{2} & 0 & \frac{h}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}

（矩阵中的 $z$ 为 $\frac{1}{2}$ 是为保持 $z$ 值不变）来验证一下,假设我们的屏幕是 $520 \times 520$ 的，则矩阵为

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 260 & 0 & 0 & 260 \\ 0 & 260 & 0 & 260 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}

顶点 $(0.25, 0.25)$ ，NDC中为 $(0.5 ， 0.5)$ 则

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 & 1 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} 260 & 0 & 0 & 260 \\ 0 & 260 & 0 & 260 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} 390 & 390 & 1 & 1 \end{array}] \end{array}

顶点 $(- 0.5, - 0.5)$ ，NDC中为 $(- 1 ， - 1)$ 则

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} - 1 & - 1 & 1 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} 260 & 0 & 0 & 260 \\ 0 & 260 & 0 & 260 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}] \end{array}

映射到屏幕坐标 $(0, 0)$ 像素点（也就是说最左下的那个小盒子的边界点正好映射到屏幕的左下角）

如果长宽是不一样的

长宽不一样我们依然可以处理，只不过要多一个概念 $a s p e c t$ ,

a s p e c t = \frac{w i d t h}{h e i g h t}

它是一个比例

左上图是比例为 $1 : 1$ 的情况下，如果我们改变了窗口大小，例如改为了 $640 \times 480$ ，也就是比例为 $1 : 1.3333$ ,如果我们此时什么都不做，则我们会得到左下的结果（仔细想想，为什么，是因为我们的视口变换矩阵，像素是一一对应的，即使窗口大小变了，但映射关系并没有变）所以我们如果才能得到右上的结果呢？很简单，在进行正交变换或者透视变换的时候将 $x$ 方向也就是水平方向按照 $a s p e c t$ 比例收缩一些