Triangular area

三角形面积计算

$$A=\frac{bh}{2}$$

三角形面积可以用底x高，然后除以2。因为两个一样的三角形可以拼成一个矩形或者平行四边形

第一种

$$A=\frac{1}{2}ab\sin C$$

$b\sin C=h$ 还是二分之一底乘高

第二种

$$A=\frac{abc}{4R}$$

借助正弦定理sine_law

第三种

$$A=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$$

第四种

余弦定理的延申， 也就是海伦公式， 根据 余弦定理 cosine_law 我们有

${\cos }^{2}A=\frac{a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2+2b^2{c}^2-2a^2{c}^2}{4b^2{c}^2}$

计算验证: ((-a^2+b^2+c^2)^2)

根据

${\cos }^{2}A+si{n}^{2}A=1$

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{\frac{4b^2{c}^2}{4b^2{c}^2}-\frac{a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2+2b^2{c}^2-2a^2{c}^2}{4b^2{c}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-(a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2+2b^2{c}^2-2a^2{c}^2)}{4b^2{c}^2}}$

$=\frac{\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2+2a^2{b}^2}}{2bc}$ 有三角形面积 $\Delta =\frac{1}{2}bc\sin A$

代入$\sin A$有

$\Delta =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$ (排列组合)

变体

$$\Delta =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

其中

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$