Triangular area

三角形面积计算

A = \frac{b h}{2}

三角形面积可以用底x高，然后除以2。因为两个一样的三角形可以拼成一个矩形或者平行四边形

第一种

A = \frac{1}{2} a b \sin C

$b \sin C = h$ 还是二分之一底乘高

第二种

A = \frac{a b c}{4 R}

借助正弦定理sine_law

第三种

A = \frac{a + b + c}{2} \cdot r

第四种

余弦定理的延申，也就是海伦公式，根据余弦定理 cosine_law 我们有

\cos^{2} A = \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} - 2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} - 2 a^{2} c^{2}}{4 b^{2} c^{2}}

计算验证: ((-a^2+b^2+c^2)^2)

根据

\cos^{2} A + s i n^{2} A = 1

\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} a} = \sqrt{\frac{4 b^{2} c^{2}}{4 b^{2} c^{2}} - \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} - 2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} - 2 a^{2} c^{2}}{4 b^{2} c^{2}}}

= \sqrt{\frac{4 b^{2} c^{2} - (a^{4} + b^{4} + c^{4} - 2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} - 2 a^{2} c^{2})}{4 b^{2} c^{2}}}

= \frac{\sqrt{- a^{4} - b^{4} - c^{4} + 2 b^{2} c^{2} + 2 c^{2} a^{2} + 2 a^{2} b^{2}}}{2 b c}

有三角形面积

Δ = \frac{1}{2} b c \sin A

代入 $\sin A$ 有

Δ = \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)}

(排列组合)

变体

Δ = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

其中

p = \frac{a + b + c}{2}

Connected Pages

Depth

On this page

Pages mentioning this page

No other pages mentions this page