Orthographic transformation

正交变换Orthographic Transformation

什么是正交变换？图片 正交变换也是一个投影过程，这里则不像透视变换中那样是一个椎体了，而是一个方体，所以在正交变换中，近大远小这种情况则不存在，相反，你会看到所有的物体无论远近，在投影平面上都是有相仿的大小

步骤

创建一个能够包含的下场景内所有物体的一个BoundingBox, $(l:left,r:right,t:top,b:bottom,f:front,b:back)$,然后将其映射到$(-1,-1,-1)$到$(1,1,1)$范围内；$x$坐标映射到$(l,r)\Rightarrow (-1,1)$, $y$坐标映射到$(t,b)\Rightarrow (1,-1)$，然后将内容投射到投影平面上

资料

1. 正交矩阵计算过程

https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/perspective-and-orthographic-projection-matrix/orthographic-projection-matrix

正交变换矩阵 $\begin{array}{r}{M}_{ortho}\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

计算并验证一下，首先场景中那个包含所有物体的那个BoundingBox的值我们需要知道，这里假设场景中有一个正方体尺寸为$1x1x1$,并且放置在世界中心原点处，那么它的左右上下边界值分别为 $(l:-0.5,r:0.5,t:0.5,b:-0.5)$ 然后再设置远近平面我们假设为 $(n:0.01,f:100)$ 则我们有 $left=-0.5,right=0.5,top=0.5,bottom=-0.5,near=0.01,far=100$ 根据这些我们最终可以计算出矩阵 $\begin{array}{r}{M}_{ortho}\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -0.02& -1.002\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ 正方体其中一个顶点$(-0.5,-0.5,-0.5)$经过正交变换后有 $\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}-0.5& -0.5& -0.5& 1\end{array}\right]\end{array}\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -0.02& 0\\ 0& 0& -1.002& 1\end{array}\right]\end{array}\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}-1& -1& -0.992& 1\end{array}\right]\end{array}$ 再举一个例子 $\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}-0.6& -0.5& -100.1& 1\end{array}\right]\end{array}\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -0.02& 0\\ 0& 0& -1.002& 1\end{array}\right]\end{array}\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}-1.2& -1& 1.002& 1\end{array}\right]\end{array}$ 可以看到，后者超出了$(-1,1)$范围会被裁切掉