Orthographic transformation

正交变换Orthographic Transformation

什么是正交变换？图片正交变换也是一个投影过程，这里则不像透视变换中那样是一个椎体了，而是一个方体，所以在正交变换中，近大远小这种情况则不存在，相反，你会看到所有的物体无论远近，在投影平面上都是有相仿的大小

步骤

创建一个能够包含的下场景内所有物体的一个BoundingBox, $(l : l e f t, r : r i g h t, t : t o p, b : b o t t o m, f : f r o n t, b : b a c k)$ ,然后将其映射到 $(- 1, - 1, - 1)$ 到 $(1, 1, 1)$ 范围内； $x$ 坐标映射到 $(l, r) \Rightarrow (- 1, 1)$ , $y$ 坐标映射到 $(t, b) \Rightarrow (1, - 1)$ ，然后将内容投射到投影平面上

资料

正交矩阵计算过程

https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/perspective-and-orthographic-projection-matrix/orthographic-projection-matrix

正交变换矩阵

\begin{array}{r} M_{o r t h o} [\begin{array}{c} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & - \frac{r + l}{r - l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & - \frac{t + b}{t - b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & - \frac{n + f}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}

计算并验证一下，首先场景中那个包含所有物体的那个BoundingBox的值我们需要知道，这里假设场景中有一个正方体尺寸为 $1 x 1 x 1$ ,并且放置在世界中心原点处，那么它的左右上下边界值分别为

(l : - 0.5, r : 0.5, t : 0.5, b : - 0.5)

然后再设置远近平面我们假设为

(n : 0.01, f : 100)

则我们有

l e f t = - 0.5, r i g h t = 0.5, t o p = 0.5, b o t t o m = - 0.5, n e a r = 0.01, f a r = 100

根据这些我们最终可以计算出矩阵

\begin{array}{r} M_{o r t h o} [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.02 & - 1.002 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}

正方体其中一个顶点 $(- 0.5, - 0.5, - 0.5)$ 经过正交变换后有

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} - 0.5 & - 0.5 & - 0.5 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.02 & 0 \\ 0 & 0 & - 1.002 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 0.992 & 1 \end{array}] \end{array}

再举一个例子

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} - 0.6 & - 0.5 & - 100.1 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.02 & 0 \\ 0 & 0 & - 1.002 & 1 \end{array}] \end{array} \begin{array}{r} [\begin{array}{c} - 1.2 & - 1 & 1.002 & 1 \end{array}] \end{array}

可以看到，后者超出了 $(- 1, 1)$ 范围会被裁切掉