Linear transforms and translation

平移不是一个线性变换，它是一个仿射变换，因为线性变换其中的一个特性就是变换前后坐标系的原点保持不变，显然平移不满足这个特性；或者还可以说我们无法用一个矩阵去描述这个变换，不像之前的旋转缩放等变换我们都可以用一个矩阵就可以描述。再从另外一个角度来描述就是我们"无法通过只使用乘法来描述这个变换"

我们假设一个场景，在一维情景下，我们有一个数轴，还有三个点在

a = 1, b = 2, c = 3

处，我们想要将这三个点往右移动一个单位,也就是

a^{'} = a + 1; b^{'} = b + 1, c^{'} = c + 1

这是对这三个点都使用"+1"这个一个同样的操作我们做到了，那么我们可不可以使用乘法呢？我们观察到， $a^{'} = 2, a = 1$ ，要想使用乘法就需要乘以 $2$ ，因为之间相差 $2$ 倍，也就是 $a^{'} = 2 a$ ,但是对于另外两个点， $2 b$ 和 $2 c$ 则不是我们想要的结果，问题我们是否可以找到一个像"+1"这么一个统一又优美的操作，使乘法也可以作用于变换呢？答案是，我们暂时找不到

所以，Translation我们需要使用这种方式来表示

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \end{matrix})

可这样表示后面会多出

(\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \end{matrix})

使得偏偏平移变换与其它的变换不同，那有没有其它的方法呢？答案是: homogenous_coordinates 齐次坐标

变换复合

complex_transformation变换复合，很容易就理解

T R = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos 45^{\circ} & - \sin 45^{\circ} & 0 \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Here^[1]

3维下

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + t_{x} \\ y + t_{y} \\ z + t_{z} \\ 1 \end{matrix})

For math render, we use \mathbf{T}\_{x} instead of \mathbf{T}_{x} , But some doesn't support. ↩︎