Equation and determinant

方程与行列式

有一个方程，我们试着解一下

\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 5 x + 6 y = 7 (1) \\ 9 x + 4 y = 3 (2) \end{array} \end{array}

我们用消去法

\begin{array}{l} (2) \times \frac{5}{9} - (1) \\ (1) \times \frac{4}{6} - (2) \end{array}

最终可以得到

\begin{array}{l} y (5 \times 4 - 6 \times 9) = 3 \times 5 - 7 \times 9 \\ x (5 \times 4 - 6 \times 9) = 7 \times 4 - 6 \times 3 \end{array}

大家有没有注意到 $x$ 和 $y$ 后面的

(5 \times 4 - 6 \times 9)

他们是一样的，所以为了简化计算，我们将这个 $(5 \times 4 - 6 \times 9)$ 拿出来排列成

(\begin{matrix} 5 & 6 \\ 9 & 4 \end{matrix})

这样一组数,再定义

(\begin{matrix} 5 & 6 \\ 9 & 4 \end{matrix}) = 5 \times 4 - 6 \times 9

叫做行列式, 而

(\begin{matrix} 5 & 6 \\ 9 & 4 \end{matrix})

也是方程中的系数(称作系数矩阵)，通用格式就是

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c

再看另外一个方程

(\begin{matrix} 1 x + 0 y = 0 \\ 0 x + 1 y = 0 \end{matrix}

列出系数矩阵形式

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

观察图中我们看到如果我们把 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$ "围起来"，我们会得到一个正方形，在应用我们刚刚学的的行列式的计算方法，我们正好得到一个数字 $1 \times 1 - 0 \times 0 = 1$ ，(同样的 $2 \times 2 - 0 \times 0 = 4$ ，面积为4)，如果我们抛开坐标系不谈论，就单纯的把围成的区域看做是一个正方形，它的面积正好为1，不是吗？那是不是我们可以把行列式与面积联系起来呢？答案是：可以，我们再来看另外一个例子，我们现在讨论的是(1,0)和(0,1)下围成的区域，它正好是一个正方形，那么其它的情况呢？

我们两个坐标 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 系数矩阵为

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

现在形成的面积是一个平行四边形，经过计算后我们发现也满足。