Coordinate basis vector and transformation

坐标基矢

坐标基矢是我们人为定义的事物；一维情形下就是数轴上$0$到$1$之间那个距离，记为

$(1,)$

二维有两个坐标轴，分别为

$(1,0)$

叫做$i$帽，符号记为$\hat{i}$和

$(0,1)$

叫做$j$帽，符号记为 $\hat{j}$

刚才我们未引入坐标基矢，引入坐标基矢后，现在就有了一种统一的形式，上述例子的完整情况为

$(\begin{array}{c}1x+0y=2\\ 0x+1y=2\end{array}$

矩阵形式

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)(x=2,y=2)$

其实我们可以看到，我们想要去到的那个点$(2,2)$，本质上就是我们定义的坐标基矢(i帽和j帽)“去到了”点$(2,2)$,我们把这种”去到了”哪里，称为变换 $x=2,y=2$是满足方程的一组数，也就是坐标基矢变化的量 这样，每当我们看到像 $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$ 都应想起是笛卡尔坐标系中的两个坐标基矢的变换, 像

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

可以看做

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)(x=1,y=1)$

只不过这两个坐标基没有产生任何的变化; 再如 $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$ 可以看做

$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

为了便于描述，我们还通常给我们要去的$(2,2)$那个点称作向量，不仅有方向还有箭头，如$\vec{a}=(2,2),a_1=2,a_2=2$这是在二维的情形下