Coordinate basis vector and transformation

坐标基矢

坐标基矢是我们人为定义的事物；一维情形下就是数轴上 $0$ 到 $1$ 之间那个距离，记为

(1,)

二维有两个坐标轴，分别为

(1, 0)

叫做 $i$ 帽，符号记为 $\hat{i}$ 和

(0, 1)

叫做 $j$ 帽，符号记为 $\hat{j}$

刚才我们未引入坐标基矢，引入坐标基矢后，现在就有了一种统一的形式，上述例子的完整情况为

(\begin{matrix} 1 x + 0 y = 2 \\ 0 x + 1 y = 2 \end{matrix}

矩阵形式

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) (x = 2, y = 2)

其实我们可以看到，我们想要去到的那个点 $(2, 2)$ ，本质上就是我们定义的坐标基矢(i帽和j帽)"去到了"点 $(2, 2)$ ,我们把这种"去到了"哪里，称为变换
$x = 2, y = 2$ 是满足方程的一组数，也就是坐标基矢变化的量 这样，每当我们看到像

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})

都应想起是笛卡尔坐标系中的两个坐标基矢的变换, 像

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

可以看做

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) (x = 1, y = 1)

只不过这两个坐标基没有产生任何的变化; 再如

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})

可以看做

(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

为了便于描述，我们还通常给我们要去的 $(2, 2)$ 那个点称作向量，不仅有方向还有箭头，如 $\vec{a} = (2, 2), a_{1} = 2, a_{2} = 2$ 这是在二维的情形下